Fläche der Rotationsfläche

Der Rechner bestimmt die Fläche, die eine gerade Strecke bei Drehung um eine Achse überstreicht – die Mantelfläche eines Zylinders, Kegels oder Kegelstumpfs.

So funktioniert die Berechnung

Nach der ersten Guldinschen Regel (Satz von Pappus) gilt für eine Rotationsfläche S = 2π · ȳ · L: Länge der erzeugenden Kurve mal Weg ihres Schwerpunkts. Bei einer Strecke vom Radius r₁ zum Radius r₂ liegt der Schwerpunkt auf dem mittleren Radius (r₁ + r₂)/2, die Länge ist die Mantellinie s = √(h² + (r₂ − r₁)²). Daraus folgt S = π(r₁ + r₂) · s – dasselbe Ergebnis wie das Integral S = 2π∫ y√(1 + y′²) dx.

r₁ und r₂ sind die Abstände der Streckenenden von der Achse, h ist die Länge entlang der Achse, alles in Metern; die Fläche erscheint in m². Mit r₁ = r₂ entsteht ein Zylinder, mit r₁ = 0 ein Kegel, mit h = 0 ein ebener Kreisring. Zusätzlich zeigt der Rechner die Mantellinie, die Oberfläche einschließlich beider Grundflächen, π(r₁² + r₂²), und das Volumen des Körpers, πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²)/3.

Rechenbeispiel

Die Voreinstellung r₁ = r₂ = 1 m, h = 2 m beschreibt einen Zylinder. Mantellinie s = 2 m, Mantelfläche S = π × (1 + 1) × 2 ≈ 12,566 m². Mit den beiden Grundflächen von je π m² ergeben sich ≈ 18,850 m², das Volumen beträgt ≈ 6,283 m³. Für einen Kegel mit r₁ = 0, r₂ = 3 m und h = 4 m ist die Mantellinie 5 m lang und S = π × 3 × 5 ≈ 47,12 m².

Worauf Sie achten sollten

• Berechnet werden nur gerade Strecken. Ein gekrümmtes Profil, etwa eine Vase, teilen Sie in kurze Abschnitte, berechnen jeden einzeln und addieren – je feiner, desto genauer.
• Kugel und Torus haben exakte Formeln (4πR² bzw. 4π²Rr), die genauer sind als eine Näherung über Strecken.
• Für Farb- oder Blechbedarf nehmen Sie die Gesamtoberfläche, wenn auch die Stirnflächen beschichtet werden, und rechnen Zuschläge für Nähte und Überlappungen ein.
• Alle Maße in derselben Einheit eingeben: In Zentimetern erhalten Sie cm² und cm³.