Fläche des Dreiecks (Heron-Formel)

Kennen Sie nur die drei Seitenlängen, liefert die Heron-Formel die Fläche direkt – ohne Höhe, Winkel oder Zeichnung.

So funktioniert die Berechnung

Der Rechner bestimmt zuerst den halben Umfang s = (a + b + c) / 2 und daraus die Fläche A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Die Formel ist nach Heron von Alexandria benannt, der sie im 1. Jahrhundert in seiner Metrica beschrieb; sie gilt für spitz-, recht- und stumpfwinklige Dreiecke gleichermaßen.

Geben Sie die Seiten a, b und c ein. Voreingestellt ist Meter, die Fläche erscheint dann in Quadratmetern. Zentimeter oder Millimeter funktionieren ebenso, sofern alle drei Seiten in derselben Einheit vorliegen; die Fläche ergibt sich dann in dieser Einheit zum Quadrat.

Neben der Fläche zeigt das Ergebnis Umfang, halben Umfang und den Inkreisradius r = A / s, also den Radius des größten Kreises, der ins Dreieck passt. Das ist nützlich, wenn man wissen will, welches runde Teil in eine dreieckige Fläche passt.

Rechenbeispiel

Mit den Standardseiten a = 5 m, b = 6 m und c = 7 m beträgt der Umfang 18 m, s = 9 m. Fläche = √(9 · 4 · 3 · 2) = √216 ≈ 14,697 m². Inkreisradius = 14,697 / 9 ≈ 1,633 m. Probe: Die Höhe auf die 7-m-Seite beträgt 2A / c ≈ 4,199 m, und ½ · 7 · 4,199 ≈ 14,7 m².

Worauf Sie achten sollten

• Prüfen Sie zuerst die Dreiecksungleichung: Jede Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen. Mit 2, 3 und 6 entsteht kein Dreieck, eine gültige Fläche gibt es nicht.
• Bei sehr flachen Dreiecken, bei denen eine Seite fast der Summe der anderen entspricht, liegt der Wert unter der Wurzel nahe null, und kleine Messfehler wirken sich stark aus. Messen Sie genauer oder wählen Sie ein anderes Verfahren.
• Beim rechtwinkligen Dreieck muss das Ergebnis dem halben Produkt der Katheten entsprechen: 3-4-5 ergibt genau 6.
• Auf einem Grundstück messen Sie jede Seite als Gerade zwischen den Eckpunkten, nicht entlang einer gekrümmten Grenze – sonst stimmt die Fläche nicht.