Fünf-Zahlen-Zusammenfassung

Die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung beschreibt eine Datenreihe mit fünf Werten: Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil und Maximum. Genau diese Punkte braucht man für einen Boxplot.

So funktioniert die Berechnung

Geben Sie im ersten Feld an, wie viele Werte berücksichtigt werden (3 bis 10), und tragen Sie die Zahlen in x1, x2 usw. ein. Es zählen nur die ersten N Felder. Die Reihenfolge ist egal, da die Daten sortiert werden.

Der Median ist die Mitte der sortierten Reihe (bei geradem N der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Quartile werden nach der „Hälftenmethode“ bestimmt: Die Reihe wird in eine untere und obere Hälfte geteilt, bei ungeradem N gehört der Median zu keiner Hälfte. Q1 ist der Median der unteren, Q3 der Median der oberen Hälfte. In deutschen Schulbüchern findet man teils andere Definitionen – bei kleinen Reihen können die Ergebnisse abweichen.

Zusätzlich wird der Interquartilsabstand IQR = Q3 − Q1 ausgegeben: die Breite der Box, in der die mittlere Hälfte der Daten liegt. Anders als die Spannweite (Max − Min) wird er von einem einzelnen Extremwert nicht verzerrt.

Rechenbeispiel

Standardmäßig N = 9 mit 3, 7, 8, 5, 12, 14, 21, 13, 18 (x10 wird ignoriert). Sortiert: 3, 5, 7, 8, 12, 13, 14, 18, 21. Der Median ist der 5. Wert, 12. Untere Hälfte 3, 5, 7, 8 → Q1 = (5 + 7)/2 = 6; obere Hälfte 13, 14, 18, 21 → Q3 = (14 + 18)/2 = 16. Minimum 3, Maximum 21, IQR = 16 − 6 = 10.

Worauf Sie achten sollten

• Es gibt viele Quartilsdefinitionen, die bei kleinen Reihen auseinanderliegen. Für dieselben Daten liefert Excels QUARTILE.INKL Q1 = 7 und Q3 = 14, QUARTILE.EXKL dagegen 6 und 16 wie hier. Prüfen Sie, welche Methode Ihr Kurs oder Ihre Software verlangt.
• Ausreißer nach Tukey: Grenzen Q1 − 1,5 × IQR und Q3 + 1,5 × IQR berechnen. Im Beispiel −9 und 31, also keine Ausreißer. Der Rechner zeigt diese Grenzen nicht selbst an.
• Liegt der Median deutlich näher an Q1 als an Q3 (oder umgekehrt), ist die Verteilung schief; der Vergleich mit dem arithmetischen Mittel bestätigt die Richtung.
• Das Tool nimmt höchstens 10 Werte; für größere Datensätze eignet sich eine Tabellenkalkulation.