Área de superfície de revolução

A calculadora encontra a área gerada por um segmento de reta ao girar em torno de um eixo: a superfície lateral de um cilindro, cone ou tronco de cone.

Como funciona o cálculo

Pelo primeiro teorema de Pappus-Guldin, a área de uma superfície de revolução é S = 2π · ȳ · L: o comprimento da curva geratriz vezes a distância percorrida pelo seu centroide. Para um segmento que vai do raio r₁ ao raio r₂, o centroide fica no raio médio (r₁ + r₂)/2 e o comprimento é a geratriz l = √(h² + (r₂ − r₁)²). Daí S = π(r₁ + r₂) · l, o mesmo resultado da integral S = 2π∫ y√(1 + y′²) dx.

r₁ e r₂ são as distâncias do eixo às duas pontas do segmento e h é o comprimento ao longo do eixo, tudo em metros; a área sai em m². Com r₁ = r₂ você tem um cilindro, com r₁ = 0 um cone e com h = 0 uma coroa circular plana. A ferramenta mostra ainda a geratriz, a área total com as duas bases, π(r₁² + r₂²), e o volume do sólido, πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²)/3.

Exemplo resolvido

No padrão, r₁ = r₂ = 1 m e h = 2 m: um cilindro. Geratriz l = 2 m e área lateral S = π × (1 + 1) × 2 ≈ 12,566 m². Somando as duas bases de π m² cada, chega-se a ≈ 18,850 m²; o volume é ≈ 6,283 m³. Para um cone com r₁ = 0, r₂ = 3 m e h = 4 m, a geratriz mede 5 m e S = π × 3 × 5 ≈ 47,12 m².

Pontos de atenção

• Só segmentos retos são aceitos. Para um perfil curvo, como um vaso, divida-o em trechos curtos, calcule cada um e some — quanto mais fina a divisão, maior a precisão.
• Esfera e toro têm fórmulas exatas (4πR² e 4π²Rr), melhores que a aproximação por segmentos.
• Para estimar tinta ou chapa, use a área total se as tampas também forem revestidas e acrescente margem para emendas e sobreposições.
• Use a mesma unidade em todas as medidas: em centímetros, a área sai em cm² e o volume em cm³.