Determinante der n×n-Matrix

Neun Einträge eingeben, det A ablesen – und gleich wissen, ob die Matrix invertierbar ist und das lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar.

So funktioniert die Berechnung

Der Rechner verarbeitet eine 3×3-Matrix mit den Einträgen a11…a33; die erste Ziffer ist die Zeile, die zweite die Spalte. Erlaubt sind Werte von −1000 bis 1000, auch Dezimalzahlen. Für eine 2×2-Matrix tragen Sie diese oben links ein, setzen a33 = 1 sowie a13, a23, a31, a32 = 0 – das Ergebnis ist dann a11·a22 − a12·a21.

Berechnet wird per Laplace-Entwicklung nach der ersten Zeile: det A = a11·(a22·a33 − a23·a32) − a12·(a21·a33 − a23·a31) + a13·(a21·a32 − a22·a31). Das liefert denselben Wert wie die Regel von Sarrus. Für größere Matrizen ist das Gauß-Verfahren bis zur Dreiecksform der übliche Weg; dieses Werkzeug rechnet nur bis 3×3.

Neben det A erscheinen das Produkt der Hauptdiagonale – bei Dreiecks- und Diagonalmatrizen gleich der Determinante und damit eine gute Kontrolle – und der Status: Bei det = 0 ist die Matrix singulär, besitzt keine Inverse, und Ax = b hat keine eindeutige Lösung.

Rechenbeispiel

Standardzeilen: [2, −1, 0], [1, 3, 2], [0, 1, 4]. det A = 2·(3·4 − 2·1) − (−1)·(1·4 − 2·0) + 0·(1·1 − 3·0) = 2·10 + 4 = 24. Das Diagonalprodukt 2·3·4 ist ebenfalls 24 – reiner Zufall, denn die Matrix ist keine Dreiecksmatrix. Status: regulär.

Worauf Sie achten sollten

• Achten Sie auf die Vorzeichen: Der mittlere Term wird abgezogen, ein Vorzeichenfehler bei a12 ist der häufigste Rechenfehler.
• Zeilentausch ändert das Vorzeichen, Multiplikation einer Zeile mit k multipliziert det mit k, Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile ändert det nicht.
• Bei Dezimalzahlen ist ein winziges Ergebnis wie 1e−13 praktisch null; der Rechner wertet |det| < 1e−12 als singulär.
• Geometrisch ist |det| einer 3×3-Matrix das Volumen des von den Zeilenvektoren aufgespannten Spats.