Aire de surface de révolution

Ce calculateur donne l'aire engendrée par un segment de droite tournant autour d'un axe : la surface latérale d'un cylindre, d'un cône ou d'un tronc de cône.

Comment fonctionne le calcul

Selon le premier théorème de Guldin (Pappus), l'aire d'une surface de révolution vaut S = 2π · ȳ · L : la longueur de la génératrice multipliée par le chemin parcouru par son centre de gravité. Pour un segment allant du rayon r₁ au rayon r₂, le centre de gravité est au rayon moyen (r₁ + r₂)/2 et la longueur est l'apothème l = √(h² + (r₂ − r₁)²). D'où S = π(r₁ + r₂) · l, résultat identique à l'intégrale S = 2π∫ y√(1 + y′²) dx.

r₁ et r₂ sont les distances de l'axe aux extrémités du segment, h sa longueur le long de l'axe, en mètres ; l'aire est en m². Avec r₁ = r₂ on obtient un cylindre, avec r₁ = 0 un cône, avec h = 0 une couronne plane. L'outil affiche aussi l'apothème, l'aire totale avec les deux disques de base, π(r₁² + r₂²), et le volume du solide, πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²)/3.

Exemple détaillé

Par défaut, r₁ = r₂ = 1 m et h = 2 m : c'est un cylindre. Apothème l = 2 m, aire latérale S = π × (1 + 1) × 2 ≈ 12,566 m². Avec les deux bases de π m² chacune, on obtient ≈ 18,850 m² ; le volume vaut ≈ 6,283 m³. Pour un cône avec r₁ = 0, r₂ = 3 m et h = 4 m, l'apothème mesure 5 m et S = π × 3 × 5 ≈ 47,12 m².

Points d'attention

• Seuls les segments droits sont traités. Pour un profil courbe (un vase, par exemple), découpez-le en petits segments, calculez chacun et additionnez : plus le découpage est fin, plus le résultat est précis.
• Sphère et tore ont des formules exactes, 4πR² et 4π²Rr, plus précises qu'une approximation par segments.
• Pour estimer peinture ou tôle, prenez l'aire totale si les extrémités sont aussi couvertes et ajoutez une marge pour les joints et recouvrements.
• Gardez la même unité partout : en centimètres, l'aire sort en cm² et le volume en cm³.