Area della superficie di rivoluzione

Il calcolatore trova l'area generata da un segmento rettilineo che ruota attorno a un asse: la superficie laterale di un cilindro, di un cono o di un tronco di cono.

Come funziona il calcolo

Per il primo teorema di Pappo-Guldino, l'area di una superficie di rivoluzione è S = 2π · ȳ · L: la lunghezza della curva generatrice per il percorso del suo baricentro. Per un segmento che va dal raggio r₁ al raggio r₂ il baricentro sta sul raggio medio (r₁ + r₂)/2 e la lunghezza è l'apotema l = √(h² + (r₂ − r₁)²). Ne segue S = π(r₁ + r₂) · l, lo stesso risultato dell'integrale S = 2π∫ y√(1 + y′²) dx.

r₁ e r₂ sono le distanze dall'asse ai due estremi del segmento, h è la sua lunghezza lungo l'asse, tutto in metri; l'area è in m². Con r₁ = r₂ si ottiene un cilindro, con r₁ = 0 un cono, con h = 0 una corona circolare piana. Vengono mostrati anche l'apotema, l'area totale con le due basi, π(r₁² + r₂²), e il volume del solido, πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²)/3.

Esempio svolto

Con i valori predefiniti r₁ = r₂ = 1 m e h = 2 m si ha un cilindro. Apotema l = 2 m, area laterale S = π × (1 + 1) × 2 ≈ 12,566 m². Aggiungendo le due basi da π m² ciascuna si arriva a ≈ 18,850 m²; il volume è ≈ 6,283 m³. Per un cono con r₁ = 0, r₂ = 3 m e h = 4 m l'apotema misura 5 m e S = π × 3 × 5 ≈ 47,12 m².

Cosa tenere presente

• Sono gestiti solo segmenti rettilinei. Per un profilo curvo, come un vaso, dividilo in tratti brevi, calcola ciascuno e somma: più fine è la suddivisione, più preciso il risultato.
• Sfera e toro hanno formule esatte (4πR² e 4π²Rr), più precise dell'approssimazione a segmenti.
• Per stimare vernice o lamiera usa l'area totale se anche le basi vanno rivestite e aggiungi un margine per giunzioni e sovrapposizioni.
• Usa la stessa unità per tutte le misure: in centimetri l'area risulta in cm² e il volume in cm³.