Determinante de matriz n×n

Digite os nove elementos e obtenha det A na hora, com a resposta sobre a matriz ser invertível e o sistema linear ter solução única.

Como funciona o cálculo

A calculadora usa uma matriz 3×3 com elementos a11…a33: o primeiro dígito é a linha e o segundo, a coluna. Cada valor vai de −1000 a 1000 e aceita decimais. Para 2×2, coloque a matriz no canto superior esquerdo, faça a33 = 1 e a13, a23, a31, a32 = 0; o resultado será a11·a22 − a12·a21.

O determinante é calculado pela expansão de Laplace (cofatores) ao longo da primeira linha: det A = a11·(a22·a33 − a23·a32) − a12·(a21·a33 − a23·a31) + a13·(a21·a32 − a22·a31). O valor é o mesmo da regra de Sarrus, muito usada no ensino médio. Para ordens maiores, o método prático é o escalonamento de Gauss; esta ferramenta não aceita matrizes acima de 3×3.

Além de det A, aparecem o produto da diagonal principal — igual ao determinante em matrizes triangulares ou diagonais, ótimo para conferir — e o status: com det = 0 a matriz é singular, não tem inversa e o sistema Ax = b não tem solução única.

Exemplo resolvido

Linhas padrão: [2, −1, 0], [1, 3, 2], [0, 1, 4]. det A = 2·(3·4 − 2·1) − (−1)·(1·4 − 2·0) + 0·(1·1 − 3·0) = 2·10 + 4 = 24. O produto da diagonal 2·3·4 também dá 24, mas é coincidência: a matriz não é triangular. Status: não singular (invertível).

Pontos de atenção

• Atenção aos sinais: o termo do meio da expansão é subtraído, e errar o sinal de a12 é o deslize mais comum à mão.
• Trocar duas linhas inverte o sinal; multiplicar uma linha por k multiplica det por k; somar a uma linha um múltiplo de outra não altera det.
• Com decimais, um resultado minúsculo como 1e−13 é zero com ruído de arredondamento; a calculadora trata |det| < 1e−12 como singular.
• Geometricamente, |det| de uma 3×3 é o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores-linha.