Determinante de matriz n×n

Escribe los nueve elementos y obtén det A al momento, junto con la respuesta a si la matriz es invertible y si el sistema lineal tiene solución única.

Cómo funciona el cálculo

La calculadora trabaja con una matriz 3×3 de elementos a11…a33: la primera cifra es la fila y la segunda la columna. Cada valor va de −1000 a 1000 y admite decimales. También sirve para 2×2: coloca la matriz arriba a la izquierda, pon a33 = 1 y a13, a23, a31, a32 = 0; el resultado coincide con a11·a22 − a12·a21.

El determinante se obtiene por desarrollo de Laplace (por cofactores) a lo largo de la primera fila: det A = a11·(a22·a33 − a23·a32) − a12·(a21·a33 − a23·a31) + a13·(a21·a32 − a22·a31). Da lo mismo que la regla de Sarrus. Para órdenes mayores se usa la eliminación gaussiana hasta forma triangular; esta herramienta no admite matrices mayores de 3×3.

Además de det A se muestra el producto de la diagonal principal —igual al determinante en matrices triangulares o diagonales, útil para comprobar— y el estado: si det = 0, la matriz es singular, no tiene inversa y el sistema Ax = b no tiene solución única.

Ejemplo resuelto

Filas por defecto: [2, −1, 0], [1, 3, 2], [0, 1, 4]. det A = 2·(3·4 − 2·1) − (−1)·(1·4 − 2·0) + 0·(1·1 − 3·0) = 2·10 + 4 = 24. El producto diagonal 2·3·4 también es 24, pero es casualidad: la matriz no es triangular. Estado: no singular (regular).

Qué tener en cuenta

• Cuidado con los signos: el segundo término del desarrollo se resta y el error de signo en a12 es el más habitual a mano.
• Intercambiar dos filas cambia el signo; multiplicar una fila por k multiplica det por k; sumar a una fila un múltiplo de otra no lo altera.
• Con decimales, un resultado diminuto como 1e−13 es en realidad cero con ruido de redondeo; la calculadora considera singular |det| < 1e−12.
• Geométricamente, |det| de una 3×3 es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores fila.