Уровень доверия

Обычно задают уровень доверия и ищут погрешность. Этот калькулятор решает обратную задачу: у вас уже есть выборка и желаемая точность — какой уровень доверия вы реально можете заявить?

Как устроен расчёт

В основе — классическая формула погрешности для среднего: E = z × σ / √n. Выразив z, получаем z = E × √n / σ. Уровень доверия — это площадь под стандартной нормальной кривой между −z и +z: CL = 2Φ(z) − 1, где Φ — функция нормального распределения. Уровень значимости α = 1 − CL, то есть вероятность, оставшаяся в двух «хвостах».

Входные данные: погрешность E — полуширина доверительного интервала («±2 балла»), в тех же единицах, что и данные; стандартное отклонение σ — разброс признака в генеральной совокупности (или надёжная оценка по выборке); размер выборки n — число наблюдений. На выходе — уровень доверия в процентах, критическое значение z и α в процентах.

Расчёт двусторонний и опирается на нормальное приближение. Он корректен, когда σ известна или выборка достаточно велика (на практике от нескольких десятков наблюдений), а выборка случайная.

Пример расчёта

Значения по умолчанию: E = 2, σ = 10, n = 100. z = 2 × √100 / 10 = 2. Уровень доверия = 2Φ(2) − 1 ≈ 95,45%, α ≈ 4,55%. Если допустить погрешность ±3 при тех же σ и n, z = 3 и уровень доверия вырастет до 99,73%.

На что обратить внимание

• Для доли (опросы, конверсии) берите σ = √(p(1 − p)), а погрешность — в долях: при p = 0,5, E = 0,03 и n = 1000 получится z ≈ 1,897 и около 94,2% доверия.
• При малых выборках и σ, оценённой по тем же данным, правильнее использовать t-распределение Стьюдента: реальный уровень доверия окажется ниже, чем по z.
• Полезные ориентиры: z = 1,645 → 90%, z = 1,96 → 95%, z = 2,576 → 99%.
• Уровень доверия относится к методу, а не к конкретному интервалу: при многократном повторении выборки примерно такая доля интервалов накроет истинное значение.
• Формула не учитывает систематические ошибки — смещённую выборку, отказы отвечать, ошибки измерения. Никакой уровень доверия их не исправит.