Определитель матрицы n×n

Введите девять элементов матрицы — калькулятор вычислит определитель det A и сразу скажет, можно ли обратить матрицу и имеет ли система уравнений единственное решение.

Как устроен расчёт

Калькулятор работает с квадратной матрицей 3×3: поля a11…a33, где первая цифра — номер строки, вторая — номер столбца. Значения от −1000 до 1000, допускаются десятичные дроби. Матрицу 2×2 тоже можно посчитать: оставьте её в левом верхнем углу, задайте a33 = 1, а a13, a23, a31, a32 = 0 — тогда det совпадёт с a11·a22 − a12·a21.

Определитель вычисляется разложением Лапласа по первой строке: det A = a11·(a22·a33 − a23·a32) − a12·(a21·a33 − a23·a31) + a13·(a21·a32 − a22·a31). Результат тот же, что по правилу Саррюса («правило треугольников»). Для матриц большего порядка на практике используют приведение к треугольному виду методом Гаусса; этот калькулятор такие матрицы не обрабатывает.

Кроме det A выводятся произведение элементов главной диагонали (для треугольной или диагональной матрицы оно равно определителю — удобная проверка) и статус: при det = 0 матрица вырожденная, обратной у неё нет, а система Ax = b не имеет единственного решения.

Пример расчёта

Матрица по умолчанию: строки [2, −1, 0], [1, 3, 2], [0, 1, 4]. det A = 2·(3·4 − 2·1) − (−1)·(1·4 − 2·0) + 0·(1·1 − 3·0) = 2·10 + 4 = 24. Произведение диагонали 2·3·4 тоже равно 24, но это совпадение — матрица не треугольная. Статус: невырожденная.

На что обратить внимание

• Следите за знаками: второй член разложения идёт с минусом, и ошибка в знаке a12 — самая частая при ручном счёте.
• Перестановка двух строк меняет знак определителя, умножение строки на число k умножает det на k, а прибавление к строке другой строки det не меняет.
• При дробных элементах очень маленький результат (например, 1e−13) почти наверняка означает ноль из-за округления; калькулятор считает |det| < 1e−12 вырожденностью.
• Модуль определителя 3×3 равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах-строках.