Площадь поверхности вращения

Калькулятор находит площадь поверхности, которую описывает прямой отрезок при вращении вокруг оси: это боковая поверхность цилиндра, конуса или усечённого конуса.

Как устроен расчёт

По первой теореме Паппа — Гульдина площадь поверхности вращения равна длине вращаемой линии, умноженной на путь её центра масс: S = 2π · ȳ · L. Для отрезка от радиуса r₁ до радиуса r₂ центр находится на среднем радиусе (r₁ + r₂)/2, а длина равна образующей l = √(h² + (r₂ − r₁)²). Отсюда S = π(r₁ + r₂) · l. Тот же результат даёт интеграл S = 2π∫ y√(1 + y′²) dx.

r₁ и r₂ — расстояния от оси вращения до концов отрезка, h — длина отрезка вдоль оси; всё в метрах, площадь — в м². При r₁ = r₂ получается цилиндр, при r₁ = 0 — конус, при h = 0 — плоское кольцо. Дополнительно показываются длина образующей, площадь вместе с двумя круглыми основаниями π(r₁² + r₂²) и объём тела πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²)/3.

Пример расчёта

По умолчанию r₁ = r₂ = 1 м, h = 2 м — это цилиндр. Образующая l = 2 м, боковая площадь S = π × (1 + 1) × 2 ≈ 12,566 м². С двумя основаниями по π м² получается ≈ 18,850 м², объём ≈ 6,283 м³. Для конуса с r₁ = 0, r₂ = 3 м и h = 4 м образующая равна 5 м, а S = π × 3 × 5 ≈ 47,12 м².

На что обратить внимание

• Калькулятор работает только с прямым отрезком. Кривую (например, профиль вазы) разбейте на несколько коротких отрезков, посчитайте каждый и сложите — чем мельче разбиение, тем точнее.
• Сфера, тор и параболоид имеют точные формулы: сфера — 4πR², тор — 4π²Rr. Для них отдельный расчёт точнее, чем разбиение на отрезки.
• Чтобы прикинуть расход краски или листового материала, используйте площадь «с основаниями», если торцы тоже покрываются, и добавьте запас на швы и нахлёст.
• Все размеры должны быть в одних единицах: если ввести сантиметры, площадь получится в см², объём — в см³.