Zweifaktorielle ANOVA

Berechnen Sie eine zweifaktorielle Varianzanalyse für ein balanciertes 2×2-Design, wenn nur die vier Zellmittelwerte, die Zellgröße und eine gepoolte Standardabweichung vorliegen.

So funktioniert die Berechnung

Im 2×2-Design haben zwei Faktoren (A und B) je zwei Stufen, daraus ergeben sich vier Zellen: A1·B1, A1·B2, A2·B1 und A2·B2. Sie geben den Mittelwert jeder Zelle ein, die Zahl der Beobachtungen pro Zelle n (überall gleich) und die gepoolte Standardabweichung innerhalb der Zellen SD. Der Rechner bestimmt Gesamtmittel und Randmittelwerte und zerlegt die Streuung nach Fishers klassischem Schema.

Quadratsummen: QS_A = 2n · Σ(Stufenmittel von A − Gesamtmittel)², QS_B analog und QS_AB = n · Σ(Zellmittel − Zeilenmittel − Spaltenmittel + Gesamtmittel)². Das mittlere Fehlerquadrat ist SD², also F = QS / SD² für jeden Effekt mit je 1 Freiheitsgrad; der Fehler hat 4(n − 1) Freiheitsgrade. Der p-Wert stammt aus der F-Verteilung.

Hauptergebnis ist der F-Wert für Faktor A. Darunter stehen der p-Wert für A, F und p für Faktor B, F und p für die Interaktion A×B sowie die Freiheitsgrade. Als signifikant gilt ein Effekt üblicherweise bei p < 0,05.

Rechenbeispiel

Voreinstellung: Zellmittel 10, 12, 14 und 20, n = 10 je Zelle, SD = 4. Gesamtmittel 14; Stufenmittel von A 11 und 17, von B 12 und 16. QS_A = 20 · (9 + 9) = 360, QS_B = 20 · (4 + 4) = 160, QS_AB = 10 · 4 · 1 = 40, SD² = 16. Ergebnis: F_A = 22,5 (p < 0,001), F_B = 10 (p ≈ 0,0032), F_AB = 2,5 (p ≈ 0,12) bei df = 1 und 36. Beide Haupteffekte sind signifikant, die Interaktion nicht.

Worauf Sie achten sollten

• SD ist die gepoolte Standardabweichung innerhalb der Zellen – weder die Streuung der Mittelwerte noch die Gesamt-SD. Bei gleichem n ist sie die Wurzel aus dem Mittel der vier Zellvarianzen.
• Der Rechner deckt nur 2×2-Designs mit gleichen Zellgrößen ab. Unbalancierte Daten oder mehr Stufen erfordern Statistiksoftware mit Quadratsummen vom Typ II oder III.
• Prüfen Sie zuerst die Interaktion. Ist sie signifikant, sind Haupteffekte vorsichtig zu deuten, denn der Effekt von A hängt dann von der Stufe von B ab.
• Achten Sie auf die Voraussetzungen: unabhängige Beobachtungen, annähernd normalverteilte Werte je Zelle und ähnliche Varianzen (etwa Levene-Test).
• Effektgröße von Hand: partielles η² = QS des Effekts / (QS des Effekts + SD² · Fehler-df). Für A im Beispiel: 360 / 936 ≈ 0,38.